2024年重庆高职分类理科数学模拟试题（一）【含答案】
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A.B.C.D.
2.已知为虚数单位，实数满足，则
A．1B．C．D．
3.抛物线的焦点坐标为，则
A.B.C.D.
4.已知，，则
A.B.C.D.
5.“珠算之父”程大位是我国明代伟大的数学家，他在代表作《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”大意是：用一根9节长的竹子盛米，每节竹筒的容积是不同的，下端3节可盛米3.9升，上端4节可盛米3升.要按照盛米容积依次相差同一数量的方式盛米，计算这根九节竹的容积为
[注释]三升九：3.9升；次第盛：盛米容积依次相差同一数量.
A.升B.升C.升D.升
6.任取实数，直线与圆相交于两点，则的概率是
#p#分页标题#e#A.B.C.D.
7.函数是上的奇函数，当时，，则满足的的取值范围是
A.B.
C.D.
8.已知函数相邻两个对称中心之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若函数关于轴对称，则下列结论错误的是
A．在单调递增B．的一个零点为
C．D．的一个周期为
9.执行如图所示的算法，输出结果，则的展开式中系数为
A．B．C．D．
10.已知函数，则下面对函数的描述正确的是
#p#分页标题#e#A.有两个极值点B.
C.是单调函数D.[
11.已知双曲线的渐近线在第一象限内与
函数（其中为自然对数的底数，）的图象相切，
则双曲线的离心率为
A.B.C.D.
12.如图所示，四棱锥的底面为等腰梯形，平面平面，∥，，，，为中点，分别在棱上，且，有如下四个命题：①平面平面
②异面直线与所成的角为
③设交平面于点，则为中点
④过点作空间直线，使直线与直线均成角，
#p#分页标题#e#则这样的直线共有条
上述命题中正确的是
A.①③B.①④C.②③D.②④
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．
13.已知向量，，则
14.已知实数满足约束条件，则的最大值为.
15.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，已知该几何体的体积为，记该“堑堵”的外接球的表面积为，“阳马”的外接球的表面积为，则16.如图，在平面四边形中，已知，，
，，若的面积为，则．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡上，
必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.
17．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知等比数列的前项和为，且满足.
（Ⅰ）求实数的值，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.18.（本小题满分12分，（1）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
#p#分页标题#e#在四棱锥中，底面为菱形，且.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值.
19.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）
某快递公司对6个月内市场占有率进行了统计，结果如下表：
月份代码 1 2 3 4 5 7市场占有率 11 13 16 15 20 21
（Ⅰ）可用线性回归模型拟合与之间的关系吗？如果能，请求出关于的线性回归方程，如果不能，请说明理由；
（Ⅱ）公司决定采购两款小型快递车扩大市场，两款车各100辆的资料如下表：
车型
报废年限（年）
合计
成本
1 2 3 4
A 10 30 40 20 100 1000元/辆
B 15 40 35 10 100 800元/辆
平均每辆车每年可为公司带来500元收入.不考虑采购成本之外的其他成本，设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作概率，以每辆车产生利润的期望值为决策依据，应选择采购哪款车型？
参考数据：.
参考公式：相关系数；
回归直线方程，其中，
20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
已知椭圆的左、右焦点为，椭圆的离心率为，是经过的长度最短的弦，的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
#p#分页标题#e#（Ⅱ）设为椭圆的右顶点，动直线交椭圆于两不同点，满足的点在直线上，若，求直线的方程.
21.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知是定义域为的函数，是的导函数，，.
（Ⅰ）设，，求函数的最值；
（Ⅱ）对于在中的任意一个常数，是否存在正实数，使得？请说明理由.
请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
22.（本小题满分10分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问6分）选修4—4坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为,其中.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若与交于不同两点,，且，求的最大值.
23.（本小题满分10分，（1）小问5分，（Ⅱ）小问5分）选修4—5不等式选讲
设函数.
（Ⅰ）解不等式；
#p#分页标题#e#（Ⅱ）若，证明：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16C D A B C A D C A B C B
17.（1）
当时，，
当时，，
又为等比数列，，，
，
（2）
18.（1）取中点，连结，.
，，为等边三角形，
平面，又平面，
#p#分页标题#e#为菱形，∥，.
（2），，又，，，
，，，即两两垂直，
以为轴正方向，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
则，即，可取，同理，即，可取，
则，
易知二面角为钝角，故二面角的余弦值为.
19.解：（1），
，
所以两变量之间具有较强的线性相关性，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系.
，
， .
#p#分页标题#e#（2）用频率估计概率，款快递车的利润的分布列为：
-500 0 500 10000.1 0.3 0.4 0.2
（元）
款快递车的利润的分不列为：
-300 200 700 12000.15 0.4 0.35 0.1
（元）
，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，故应选择款车型.
20.解：（1）由题意，解得，即椭圆.
（2）由（1）知点
①当与轴垂直时，由中点在上知，直线与轴重合，即
，故不成立
②当不与轴垂直时，设，则中点，
，
，故设直线的方程为，
联立和椭圆，，
由韦达定理得
，即，
或（舍）
方程为.
21.（1）设（为常数），则，
，，
令，得，在递增，在递减，
又，，
即，；
（2）对于，假设存在正数，使得成立，
即，；
要存在正数使得上式成立，只需要上式最小值小于0即可.
令，则；
令，得；令，得
在递减，在递增，
为函数的极小值点，亦即最小值点，
即
#p#分页标题#e#令，则，
在是增函数，
存在正数，使得成立.
22.（1）由消去参数得的普通方程为，
即，将代入，
得的极坐标方程为：.
（2）依题意将代入，
得
令，得，
由已知，解得，
设,，，则
则，
所以
则当时，即时，的最大值为.
23.（1），即，
当时，，得，无解；
当时，，得，；
当时，，得，
综上，不等式的解集是
（2），有绝对值不等式得
（当时取等号）
又，由均值不等式得，（当仅当时取等号）
所以，即，
所以成立
